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只要将上述的DIT-FFT与DIF-FFT算法中的旋转因子改为PPT

2020-01-10 栏目 :MACD频道 阅读 : 9 关键词:dif是什么的缩写

  惟有将上述的DIT-FFT与DIF-FFT算法中的扭转因子改为.PPT

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  4.2.5 频域抽取法FFT(DIF-FFT) 在基2FFT算法中,频域抽取法FFT也是一种常用的快快算法,简称DTF- FFT。 设序列x(n)长度为N=2M,着手将x(n)前后对半离开,得到两个子序列,其DFT可暗示为如下大局: 式中  将X(k)了解成偶数组与奇数组,当k取偶数(k=2m, m=0, 1, …, N/2-1)时  (4.2.14) 当k取奇数(k=2m+1, m=0, 1, …, N/2-1)时, 令 (4.2.15)  将x1(n)和x2(n)分歧代入(4.2.14)和(4.2.15)式,可得  (4.2.16)式评释,X(k)按奇偶k值分为两组,其偶数组是x1(n)的N/2点DFT,奇数组则是x2(n)的N/2点DFT。x1(n)、x2(n)和x(n)之间的相关也可用图4.2.10所示的蝶形运算流图标记展现。图4.2.11透露N=8时第一次贯通的运算流图。 (4.2.16) 图4.2.10 DTF-FFT蝶形运算流图象征 序列的前半小我 序列的后半个体 图4.2.11 DIF-FFT第一次体味运算流图(N=8) 由于N=2M,N/2如故是偶数,连接将N/2点DFT分成 偶数组和奇数组,如此每个N/2点DFT又可由两个N/4 点DFT造成,其输入序列差异是x1(n)和x2(n)按崎岖对 半分散酿成的四个子序列。 图4.2.12示出了N=8时第二次领会运算流图。以这种方 式知路下去,经过M-1次体验,终末懂得为2M-1个 两点DFT,两点DFT便是一个根本蝶形运算流图。 当N=8,经两次领略,便体味为四个两点DFT。N = 8 的全部DIF-FFT运算流图如图4.2.13所示。 图4.2.12 DIF-FFT第二次意会运算流图(N = 8) 图4.2.13 DIF-FFT运算流图(N =8) 这种算法是对X(k)举行奇偶抽取理会的底细,所以称之为 频域抽取法FFT。 游览图4.2.13可知,DIF-FFT算法与DIT-TTF算法近似, 共有M级运算,每级共有N/2个蝶形运算,所以两种算法 的运算次数亦形似。 不同的是DIF-FFT算法输入序列为自然序次,而输出为倒 序陈设。是以,M级运算完后,要对输出数据举办排序才 能得到天然顺序的X(k)。 另表,蝶形运算略有差别,DIT-FFT蝶形先乘后加(减), 而DIF-FFT蝶形先加(减)表态乘。 4.2.6 IDFT的高效算法 上述FFT算法流图也能够用于算计IDFT。比较DFT和IDFT的运算公式:  只要将DFT运算式中的系数改为,最终乘以 1/N,便是IDFT运算公式。 因此,唯有将上述的DIT-FFT与DIF-FFT算法中的旋 转因子 改为,结果的输出再乘以1/N就能够用 来阴谋IDFT。不过现正在流图的输入是X(k),输出就 是x(n)。 因此,向来的DIT-FFT改为IFFT后,称为DIF-IFFT 更适应;DIF-FFT改为IFFT后, 应称为DIT-IFFT。  倘若有心直接挪用FFT子规律推算IFFT,则可用下面的设施: 由于   所以,能够先将X(k)取复共轭,然后直接挪用FFT子次第,末了取复共轭并乘以1/N得到序列x(n)。这种设施固然用了两次取共轭运算,但可以与FFT共用统一子纪律,是以用起来很轻省。 图4.2.4 8点DIT-FFT运算流图 L=1 L=2 L=3 4.3 进一步减少运算量的方法 4.3.1 众类蝶形单元运算 由DIT-FFT运算流图已得出结论,N=2M点FFT共供给MN/2次复数乘法。 由(4.2.12)式,当L=1时,唯有一种扭转因子 于是,第一级不提供乘法运算。当L=2 时,共有两个旋绕因子: 和 ,因而,第二级也不提供乘法运算。正在DFT中,又称其值为±1和±j的旋绕因子为无合紧要的盘旋因子如 , , 等。 综上所述,先撤除第一、二两级后,所需复数乘法次数应是   进一步忖量各级中的可有可无扭转因子。当L=3时,有两个无关紧要的扭转因子和,因为统一旋绕因子对应着2M-L=N/2L个碟形运算,因此第三级共有2·N/23=N/4 个碟形不需要复数乘法运算。依此类推,当L≥3时,第L级的2个无关紧要的旋转因子放松复数乘法的次数为2·N/2L=N/2L-1。如此,从L=3至L=M共放松复数乘法次数为 (4.3.1) 所以,DIT-FFT的复乘次数降至   下面再探求FFT中格外的复数运算,以便进一步放松 复数乘法次数。经常完结一次复数乘法运算提供四次 实数乘,两次实数加。但对这一特 殊复数,任一复数(x+jy)与其相乘时, (4.3.2) (4.3.3) 只提供两次实数加和两次实数乘就可完毕。这样, 对应的每个蝶形省俭两次实数乘。 正在DIT-FFT运算流图中,从L=3至L=M级,每级都包含扭转因子 ,第L级中, 对应N/2L个蝶形运算。以是从第三级至终末优等,挽回因子 俭仆的实数乘次数与(4.3.2)式宛如。 所以从实数乘运算想念,阴谋N=2M点DIT-FFT所需实数乘法次数为 (4.3.4) 正在基2FFT次序中,若蕴藏了一律回旋因子,则称该算法为一类碟形单位运算;若去掉 的回旋因子,则称之为二类碟形单元运算;若再去掉 的扭转因子,则称为三类碟形单元运算;若再判断解决,则称之为四类碟形运算。全部人们将后三种运算称为多类碟形单元运算。了解,碟形单元模范越多,编程就越混乱,但当N较大时,乘法运算的减少量是相配可观的。比如,N=4096时,三类碟形单位运算的乘法次数为一类碟形单位运算的75%。 4.3.2 挽回因子的生成 在FFT运算中,扭转因子 ,求正弦和余弦函数值的算计量是很大的。是以编程时,发作旋绕因子的设施直接传染运算速率。一种办法是正在每级运算中直接发作;另一种举措是在FFT纪律入手下手前预先阴谋出,m = 0,1,…,N/2-1, 存放正在数组中,算作扭转因子表,在程序增添历程中直接查表取得所需挽回因子值,不再计算。如此使运算速度大大前进,其不足之处是占用内存较众。 4.3.3 实序列的FFT算法 正在本质事业中,数据x(n)通俗是实数序列。假若直接按FFT运算流图阴谋,即是把x(n)作为一个虚部为零的复序列举行计算,这就扩大了保管量和运算时间。执掌该标题的举措有两种。早期提出的设施是用一个N点FFT计算两个N点实序列的FFT,一个实序列作为x(n)的实部,另一个作为虚部,计算完FFT后,笔据DFT的共轭对称性,由输出X(k)分歧得到两个实序列的N点DFT(例题3.2.2)。第二种方法是用N/2点FFT推算一个N点实序列的DFT。下面简略介绍第二种步骤。 设x(n)为N点实序列,取x(n)的偶数点和奇数点区别当作新构制序列y(n)的实部和虚部,即   对y(n)举办N/2点FFT,输出Y(k),则 左证DIT-FFT的思想及式(4.2.7)和(4.2.8),可得到 X(k)的前 个值:  式中, 。由于x(n)为实序列, 因此X(k)具有共轭对称性,X(k)的后N/2点的值为 (4.3.5) 算计 N/2点FFT的复乘次数为N(M-1)/4,计算式(4.3.5)的复乘次数为N/2,所以用这种算法, 计算X(k)所需复数乘法次数为 。相对平常的N点FFT算法,上述算法的运算作用为 当N=2M=210时,η=20/11,运算速率先进近1倍。 4.4 其全班人快快算法简介 快速傅里叶改造算法是信号办理鸿沟仓皇的钻探课题。本章仅先容算法最轻省、编程最轻松的基2FFT算法途理及其编程想思,使读者作战速疾傅里叶转化的根本概想,融会磋议FFT算法的紧要旅途和编程想绪。比如,分散基FFT算法、支解哈特莱转移(DHT)、基4FFT、基8FFT、基rFFT、同化基FFT,以及进一步减弱运算量的路径等内容,对磋商新的速快算法都是很有用的。本节简单介绍其我们几种疾速算法的运算量及其浸要特点,以便读者拣选速速算法时参考。 从表面上说,不同基数的FFT算法的运算效劳分别,实际中最常用的是基2FFT、基4 FFT、离开基FFT和DHT。为此,下面简略介绍后三种FFT算法的特质,以减少读者的视野。 在基rFFT算法中,基4FFT算法运算效能与基8FFT很 靠拢,但基4FFT算法告终秩序轻省,且判决开支少。 可以评释,当FFT的基大于4时,不会知路降低阴谋量。 分开基FFT算法是将基2了解和基4懂得糅合提出的, 其复数乘法次数挨近FFT理论最幼值,但其运算流图 却与基2FFT很宛若,编程方便,运算步骤也很短,是 一种很适用的高效算法。 然则,对实序列x(n),上述众样FFT算法仍将其算作虚 部为零的复序列保管和算计。而一次复数乘法需要四 次实数乘法和二次实数加法。以是,势必蹧跶保留资 源和添加足够的运算量。   咱们体验,实序列的N点DFT拥有共轭对称性,即 以是,惟有阴谋出X(k)的前面N/2个值,则自后面的N/2个值可能由对称性求得。是以,FFT算法得到的N个X(k)值有一半是足够的。 于是,对实序列必定存在更高效的速疾算法。支解哈特 莱更正(DHT)即是针对实序列的一种高效调换算法,相 对每每的FFT算法,DHT的速速算法FHT可能减少近一半 的计算量。 应该注释,DHT是与DFT区别的转化,所以要思取得 实序列DFT,还要笔据二者的干系式实行变革。下面 会看到该合联特殊浅易。 DHT具有以下紧要特质: (1) DHT是实数改革,正在对实暗号进行统辖时克制了复数运算,运算服从高。 (2) DHT的正、逆变卦(除了因子1/N表)拥有貌似的事势。N点DHT定义如下: N点逆DHT转折界说为  (3) DHT满足轮回卷积定理,所以,可以直接用FHT实本质序列的速速卷积,大大提高管制速率。 (4.4.6) (4) DHT与DFT之间的相干额外简易,轻松实现二者之间 的调动,合联式如下: (4.4.7) 对实灯号x(n)举行谱体会时,可以先对x(n)举行FHT, 尔后再将XH(k)更改成X(k),如此可能进取清楚快度 第4章 快速傅里叶变动(FFT) 第4章 速速傅里叶转折(FFT) 4.1 短序 4.2 基2FFT算法 4.3 进一步减弱运算量的措施 4.4 其全班人速快算法简介 4.1 引 言 DFT是数字旗号体认与执掌中的一种危殆变更。但直接计算DFT,当N较大时,计算量太大,于是在快快傅里叶调动FFT(Fast Fourier Transform)展现以前,直接用DFT算法举办谱融会和灯号的及时治理是不切本质的。直到1965年提出DFT的一种快快算法今后,情况才产生了基本的搬动。 自从1965年库利和图基在《阴谋数学》杂志上告示了知名的《呆板算计傅里叶级数的一种算法》论文后,桑德—图基等速速算法相继涌现,又经人们进行改善,很速变成一套高效阴谋步骤,这便是现正在的快速傅里叶调动(FFT)。 这种算法使DFT的运算恶果前进了1 ~ 2个数目级,为数字暗号经管技艺把握于百般暗记的及时管束创制了条款,大大胀动了数字信号处分技艺的展开。 人类的求知欲和科学的展开是永无至极的。众年来,人们相接追求更快、更健壮的好算法。1984年,法国的杜哈梅尔(P. Dohamel)和霍尔曼(H. Hollmann)提出的分裂基疾速算法,使运算成果进一步先进。本章吃紧研讨基2FFT算法。 4.2 基2FFT算法 4.2.1 直接阴谋DFT的特性及减弱运算量的根柢 途径 有限长序列x(n)的N点DFT为   斟酌x(n)为复数序列的平凡状况,对某一个k值,直接按(4.2.1)式推算X(k)的1个值提供N次复数乘法和 (N-1)次复数加法。所以,推算X(k)的全部N个值,共需N2次复数乘法和N(N-1)次复数加法运算。 (4.2.1) 当时,N(N-1)≈N2。由上述可睹,N点DFT的乘法和加法运算次数均为N2。当N较大时,运算量很是可观。比方N=1024时,N2=1 048 576。这对于实时灯号管制来谈,必将对统治修立的阴谋快度提出难以达成的请求。以是,一定放松其运算量,才气使DFT正在万般科学和工程算计中取得把持。 如前所述,N点DFT的复乘法次数等于N2。真切,把N点DFT清楚为几个较短的DFT,可使乘法次数大大放松。  FFT算法就是连结地把长序列的DFT领略成几个短序列的DFT,并把持 的周期性和对称性来放松DFT的运算次数。算法最轻巧最常用的是基2FFT。 其对称性外示为 (4.2.3a) 也许 (4.2.3b) 另外,回旋因子具有明白的周期性和对称性。其周期性展现为 4.2.2 时域抽取法基2FFT底子原理 基2FFT算法分为两类:时域抽取法FFT(DecimationIn Time FFT,简称DIT-FFT ); 频域抽取法FFT (Decimation In Frequency FFT,简称DIF-FFT)。本节先容DIT-FFT算法。 设序列x(n)的长度为N,且满足N=2M,M为天然数。按n的奇偶把x(n)领悟为两个N/2点的子序列  则x(n)的DFT为 因为 因此 其中X1(k)和X2(k)分歧为x1(r)和x2(r)的N/2点DFT, 即 因为X1(k)和X2(k)均以N/2为周期,且 ,以是X(k)又可外现为 (4.2.5) (4.2.6) 云云,就将N点DFT理解为两个N/2点DFT和(4.2.7)式以及(4.2.8)式的运算。(4.2.7)和(4.2.8)式的运算可用图4.2.1所示的流图符号显示,称为蝶形运算标识。选用这种图示法,进程一次奇偶抽取了解后,N点DFT运算图可能用图4.2.2外示。图中,N=23=8, X(0)~X(3)由(4.2.7)式给出,而X(4)~ X(7)则由(4.2.8)式给出。 (4.2.7) (4.2.8) 图4.2.1 蝶形运算符号 偶数点的N/2 DFT 奇数点的N/2 DFT 序列DFT的N/2个点 序列DFT的后N/2个点 图4.2.2 8点DFT一次时域抽取解析运算流图 由图4.2.1可睹,要实现一个蝶形运算,需要一次复数乘法和两次复数加法运算。由图4.2.2方便看出,始末一次明白后,算计1个N点DFT共需要算计两个N/2点DFT和N/2个蝶形运算。而计算一个N/2点DFT供给(N/2)2次复数乘法和N/2(N/2-1)次复数加法。是以,按图4.2.2算计N点DFT时,总共供应的复数乘法次数为 复数加法次数为 由此可见,仅仅历程一次领略,就使运算量松开近一半。既然如此意会对松开DFT的运算量是有用的,且N=2M, N/2还是是偶数,故可以对N/2点DFT再作进一步懂得。 与第一次分解仿佛,将x1(r)按奇偶体认成两个N/4点的子序列x3(l)和x4(l),即 X1(k)又可吐露为 (4.2.9) 式中   同理,由X3(k)和X4(k)的周期性和的对称性 终末获得: (4.2.10) 用同样的设施可推算出  (4.2.11) 其中: 如此,通过第二次会意,又将N/2点DFT剖析为2个N/4点DFT和(4.2.10)式或(4.2.11)式所示的N/4个蝶形运算,如图4.2.3所示。 顺序类推,历程M次体认,末了将N点DFT认识成N个1点DFT和M级蝶形运算,而1点DFT就是时域序列自己。一个完全的8点DIT-FFT运算流图如图4.2.4所示。图顶用到关系式。图中输入序列不是程序罗列,但反目会看到,其铺排是有程序的。图中的数组A用于存放输入序列和每级运算事实。 图4.2.3 8点DFT二次时域抽取体味运算流图 图4.2.4 8点DIT-FFT运算流图 4.2.3 DIT-FFT算法与直接推算DFT运算量的比较 由DIT-FFT算法的明白历程及图4.2.4可睹,当N=2M 时,其运算流图应有M级蝶形,每头号都由N/2个蝶形运算组成。所以,每优等运算都供给N/2次复数乘和N次复数加(每个蝶形供应两次复数加法)。以是,M级运算总共供给的复数乘次数为 复数加次数为 而直接计算DFT的复数乘为N2次,复数加为N(N-1)次。当N1时,N2≥ (N/2) log2N,因而,DIT-FFT算法比直接计算DFT的运算次数大大松开。 例如,N=210=1024时,   如此,就使运算效力先进200多倍。图4.2.5为FFT算法和直接算计DFT所需复数乘法次数CM与更动点数N的相干曲线。由此图加倍直观地看出FFT算法的优良性,懂得,N越大时,优良性就越知道。 图4.2.5 DIT-FFT算法与直接阴谋DFT所需复数乘法次数的比拟曲线 DIT-FFT的运算次序及蝶形画法 1. 原位算计 由图4.2.4能够看出,DIT-FFT的运算颠末很有程序。 N=2M点的FFT共举办M级运算,每级由N/2个蝶形运算 构成。 同头等中,每个蝶形的两个输入数据只对推算本蝶形有 用,并且每个蝶形的输入、输出数据结点又同在一条水 平线上,这就意味着阴谋完一个蝶形后,所得输出数据 可立时存入原输入数据所占用的保全单元(数组元素)。 如此,过程M级运算后,本来寄存输入序列数据的N个 存在单元(数组A)中便依次寄放X(k)的N个值。 8点DIT-FFT运算流图的画法 2. 旋转因子的挪动序次 如上所述,N点DIT-FFT运算流图中,每级都有N/2个蝶形。每个蝶形都要乘以因子,称其为旋绕因子,p为挽回因子的指数。但各级的回旋因子都有所分歧。 为了画出蝶形图,应先找出旋转因子 与运算级数的关联。用L透露从左到右的运算级数(L=1,2,…M)。游览图4.2.4不难开掘,第L级共有2L-1个差别的旋转因子。N=23=8时的各级扭转因子外现如下: 对N=2M的普通景况,第L级的挽回因子为: 因为  因此   (4.2.12) (4.2.13) 如此,就可按(4.2.12)和(4.2.13)式确定第L级运算的旋绕因子。 3. 序列的倒序 DIT-FFT算法的输入序列的排序看起来如同很乱,但仔 细融会就会发现这种倒序是很有步骤的。由于N=2M, 所以序次数可用M位二进制数(nM-1 nM-2…n1n0)表现。 外4.2.1列出了N=8时以二进制数呈现的次第数和倒序 数,由外不问可知,唯有将纪律数(n2n1n0)的二进制位 倒置,则得对应的二进制倒序值(n0n1n2) 外4.2.1 规律和倒序二进制数比照表 第4章 疾速傅里叶改革(FFT)

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